Упр.36 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) ((v(x^3)-1)/(vx-1) + vx) : (x-1)/(vx-1) = vx + 1
б) (1+va)/(1-a) * ((1+v(a^3))/(1+va) — va) = 1-va

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{\sqrt{x^3}-1}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}\right):\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} $$

Так как $$\sqrt{x^3}=x\sqrt{x}$$, получаем:

$$ \left(\frac{x\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}\right):\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{x\sqrt{x}-1+\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} $$

$$ = \frac{x\sqrt{x}-1+x-\sqrt{x}}{x-1} = \frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)+x-\sqrt{x}}{x-1} $$

$$ = \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{x-1} = \sqrt{x}+1 $$

Тождество доказано.

б) Упростим левую часть:

$$ \frac{1+\sqrt{a}}{1-a}\left(\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right) $$

Так как $$\sqrt{a^3}=a\sqrt{a}$$, имеем:

$$ \frac{1+\sqrt{a}}{1-a}\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right) = \frac{1+\sqrt{a}}{1-a}\cdot \frac{1+a\sqrt{a}-\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}{1+\sqrt{a}} $$

$$ = \frac{1+a\sqrt{a}-\sqrt{a}-a}{1-a} = \frac{(1-a)-\sqrt{a}(1-a)}{1-a} $$

$$ = \frac{(1-a)(1-\sqrt{a})}{1-a} = 1-\sqrt{a} $$

Тождество доказано.