Упр.31 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) x^4 — 2х^2 — 8 = 0;
б) х^4 — 11x^2 + 18 = 0;
в) 2(x^2 — 1)^2 — 13(x^2 — 1) — 24 = 0;
г) (x^2 — 4x)^2 + 9(x^2 — 4х) + 20 = 0.

1. а) Пусть $$y=x^2$$. Тогда получаем уравнение

   $$y^2-2y-8=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36,$$

   $$y_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}.$$

   Отсюда $$y_1=-2,$$ $$y_2=4.$$

   Так как $$x^2=-2$$ не имеет действительных корней, то остаётся

   $$x^2=4,$$

   $$x=\pm 2.$$

2. б) Пусть $$y=x^2$$. Тогда

   $$y^2-11y+18=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=11^2-4\cdot 18=121-72=49,$$

   $$y_{1,2}=\frac{11\pm 7}{2}.$$

   Получаем $$y_1=2,$$ $$y_2=9.$$

   Тогда

   $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2},$$

   $$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$

3. в) Пусть $$y=x^2-1$$. Тогда

   $$2y^2-13y-24=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-13)^2-4\cdot 2\cdot(-24)=169+192=361,$$

   $$y_{1,2}=\frac{13\pm 19}{4}.$$

   Отсюда $$y_1=-\frac{3}{2},$$ $$y_2=8.$$

   Если $$x^2-1=-\frac{3}{2},$$ то $$x^2=-\frac{1}{2}$$ — действительных корней нет.

   Если $$x^2-1=8,$$ то $$x^2=9,$$ значит $$x=\pm 3.$$

4. г) Пусть $$y=x^2-4x$$. Тогда

   $$y^2+9y+20=0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(y+4\right)\left(y+5\right)=0.$$

   Значит, $$y=-4$$ или $$y=-5.$$

   1) Если $$x^2-4x=-5,$$ то

   $$x^2-4x+5=0,$$

   $$D=16-20=-4,$$

   действительных корней нет.

   2) Если $$x^2-4x=-4,$$ то

   $$x^2-4x+4=0,$$

   $$\left(x-2\right)^2=0,$$

   $$x=2.$$

Ответ

а) $$-2,\ 2$$; б) $$-\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ -3,\ 3$$; в) $$-3,\ 3$$; г) $$2$$.