Упр.27 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) v192 и 1/(7-4v3) — 1/(7+4v3);
б) 3+2v2 и v7+v10;
в) v198 и 1/5v2 — 1/5v2+7;
г) 2v5+3 и v10+v19.
а) Преобразуем второе выражение:
$$\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=\frac{(7+4\sqrt{3})-(7-4\sqrt{3})}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}=\frac{8\sqrt{3}}{49-48}=8\sqrt{3}.$$
$$8\sqrt{3}=\sqrt{64\cdot 3}=\sqrt{192}.$$
Следовательно,
$$\sqrt{192}=\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}.$$
б) Сравним числа $$3+2\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{7}+\sqrt{10}$$. Возведём их в квадрат:
$$\left(3+2\sqrt{2}\right)^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2},$$
$$\left(\sqrt{7}+\sqrt{10}\right)^2=7+2\sqrt{70}+10=17+2\sqrt{70}.$$
Сравним:
$$12\sqrt{2} \text{ и } 2\sqrt{70}.$$
Возведём в квадрат:
$$\left(12\sqrt{2}\right)^2=288,\qquad \left(2\sqrt{70}\right)^2=280,$$
значит, $$12\sqrt{2}>2\sqrt{70}.$$ Тогда
$$\left(3+2\sqrt{2}\right)^2>\left(\sqrt{7}+\sqrt{10}\right)^2,$$
а так как оба числа положительны, то
$$3+2\sqrt{2}>\sqrt{7}+\sqrt{10}.$$
в) Преобразуем второе выражение:
$$\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}=\frac{(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)}{(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)}=\frac{14}{50-49}=14.$$
$$14=\sqrt{196}.$$
Сравниваем:
$$\sqrt{198}>\sqrt{196},$$
значит,
$$\sqrt{198}>\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}.$$
г) Сравним числа $$2\sqrt{5}+3$$ и $$\sqrt{10}+\sqrt{19}$$. Возведём их в квадрат:
$$\left(2\sqrt{5}+3\right)^2=20+12\sqrt{5}+9=29+12\sqrt{5},$$
$$\left(\sqrt{10}+\sqrt{19}\right)^2=10+2\sqrt{190}+19=29+2\sqrt{190}.$$
Сравним:
$$12\sqrt{5} \text{ и } 2\sqrt{190}.$$
Возведём в квадрат:
$$\left(12\sqrt{5}\right)^2=720,\qquad \left(2\sqrt{190}\right)^2=760,$$
значит, $$12\sqrt{5}<2\sqrt{190}.$$ Тогда
$$\left(2\sqrt{5}+3\right)^2<\left(\sqrt{10}+\sqrt{19}\right)^2,$$
а так как оба числа положительны, то
$$2\sqrt{5}+3<\sqrt{10}+\sqrt{19}.$$
Ответ
а) $$\sqrt{192}=\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$$; б) $$3+2\sqrt{2}>\sqrt{7}+\sqrt{10}$$; в) $$\sqrt{198}>\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$$; г) $$2\sqrt{5}+3<\sqrt{10}+\sqrt{19}$$.
