Упр.92 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) у = 12 — Зх^2; в) у = -(х — 1)^2 + 4;
б) у = 0,5(x — 2)^2; г) у = 2х^2 — 4х + 5.
Не выполняя построения графика, определите:
1) координаты вершины параболы;
2) ось симметрии параболы;
3) промежутки возрастания и убывания функции;
4) наибольшее либо наименьшее значение функции;
5) множество значений функции.
Для квадратичной функции удобно использовать вид $$y=a(x-h)^2+k$$: вершина параболы имеет координаты $$\left(h;k\right)$$, ось симметрии задаётся уравнением $$x=h$$. Если $$a>0$$, парабола ветвями вверх, если $$a<0$$ — вниз.
а) $$y=12-3x^2=-3x^2+12$$
Вершина: $$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot(-3)}=0,$$
$$y=12-3\cdot 0^2=12.$$
Значит, вершина $$\left(0;12\right)$$, ось симметрии $$x=0$$.
Так как $$a<0$$, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty)$$.
Наибольшее значение равно $$12$$, множество значений: $$(-\infty;12]$$.
б) $$y=0{,}5(x-2)^2$$
Это уже вершина в явном виде, поэтому вершина $$\left(2;0\right)$$, ось симметрии $$x=2$$.
Так как $$a>0$$, функция убывает на $$(-\infty;2)$$ и возрастает на $$(2;+\infty)$$.
Наименьшее значение равно $$0$$, множество значений: $$[0;+\infty)$$.
в) $$y=-(x-1)^2+4$$
Вершина: $$\left(1;4\right)$$, ось симметрии $$x=1$$.
Так как $$a<0$$, функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$(1;+\infty)$$.
Наибольшее значение равно $$4$$, множество значений: $$(-\infty;4]$$.
г) $$y=2x^2-4x+5$$
Найдём абсциссу вершины:
$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1.$$
Тогда
$$y=2\cdot 1^2-4\cdot 1+5=3.$$
Вершина $$\left(1;3\right)$$, ось симметрии $$x=1$$.
Так как $$a>0$$, функция убывает на $$(-\infty;1)$$ и возрастает на $$(1;+\infty)$$.
Наименьшее значение равно $$3$$, множество значений: $$[3;+\infty)$$.
Ответ
а) вершина $$\left(0;12\right)$$, ось $$x=0$$, возрастает на $$(-\infty;0)$$, убывает на $$(0;+\infty)$$, наибольшее значение $$12$$, $$E(y)=(-\infty;12]$$;
б) вершина $$\left(2;0\right)$$, ось $$x=2$$, убывает на $$(-\infty;2)$$, возрастает на $$(2;+\infty)$$, наименьшее значение $$0$$, $$E(y)=[0;+\infty)$$;
в) вершина $$\left(1;4\right)$$, ось $$x=1$$, возрастает на $$(-\infty;1)$$, убывает на $$(1;+\infty)$$, наибольшее значение $$4$$, $$E(y)=(-\infty;4]$$;
г) вершина $$\left(1;3\right)$$, ось $$x=1$$, убывает на $$(-\infty;1)$$, возрастает на $$(1;+\infty)$$, наименьшее значение $$3$$, $$E(y)=[3;+\infty)$$.
