Упр.9.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) у = |{х}|; в) у = x — {x}; б) у = x + {x}; г) у = {[x]}.

1. а) $$y=|\{x\}|=|x-[x]|.$$

   Так как $$0\le x-[x]<1,$$ то $$|\{x\}|=\{x\}.$$ Следовательно,

   $$y=\{x\},$$

   то есть функция не является периодической.

2. б) $$y=x+\{x\}=x+(x-[x])=2x-[x].$$

   Пусть $$[x]=k,$$ тогда $$k\le x<k+1.$$ Умножим неравенство на 2:

   $$2k\le 2x<2k+2.$$

   Вычтем $$[x]=k$$:

   $$k\le 2x-[x]<k+2,$$

   то есть на каждом промежутке длины 1 значение функции меняется, поэтому функция не является периодической.

3. в) $$y=x-\{x\}=x-(x-[x])=[x].$$

   Это функция целой части, а она не является периодической.

4. г) $$y=\{[x]\}=[x]-[[x]].$$

   Так как $$[x]$$ — целое число, то $$[[x]]=[x].$$ Значит,

   $$y=[x]-[x]=0.$$

   Следовательно, функция постоянная и, значит, является периодической.

Ответ

а) не является; б) не является; в) не является; г) является.