Упр.9.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) у = {x}; в) у = {2x}; б) у = {x — 2,5}; г) у = {|x|}.

1. а) $$y=\{x\}=x-[x].$$

   Пусть $$[x]=k$$, тогда

   $$ k \le x < k+1, $$
   $$ 0 \le y < 1. $$

   Следовательно, график функции повторяется на каждом промежутке длины $$1$$, значит функция периодическая.

2. б) $$y=\{x-2{,}5\}=(x-2{,}5)-[x-2{,}5].$$

   Пусть $$[x-2{,}5]=k$$, тогда

   $$ k \le x-2{,}5 < k+1, $$
   $$ k+2{,}5 \le x < k+3{,}5, $$
   $$ 0 \le y < 1. $$

   Функция также периодическая.

3. в) $$y=\{2x\}=2x-[2x].$$

   Пусть $$[2x]=k$$, тогда

   $$ k \le 2x < k+1, $$
   $$ \frac{k}{2} \le x < \frac{k+1}{2}, $$
   $$ 0 \le y < 1. $$

   График повторяется при сдвиге по оси $$x$$, значит функция периодическая.

4. г) $$y=\{|x|\}.$$

   Функция чётная, так как

   $$ y(-x)=\{|-x|\}=\{|x|\}=y(x). $$

   Но периодичности нет: при любом сдвиге по оси $$x$$ график не совпадает сам с собой.

Ответ

а) является; б) является; в) является; г) не является.