Упр.9.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Может ли областью определения периодической функции быть: а) отрезок; в) луч; б) интервал; г) множество целых чисел?

Подробный ответ

Для периодической функции должно выполняться равенство $$f(x+T)=f(x)$$ для любого $$x$$ из области определения, где $$T$$ — период.

а) Отрезок. Если область определения — отрезок $$[a;b]$$, то для некоторых точек $$x \in [a;b]$$ число $$x+T$$ может выйти за пределы отрезка. Тогда $$f(x+T)$$ не определена, значит, равенство периодичности нарушается. Следовательно, областью определения периодической функции отрезок быть не может.
б) Интервал. Если область определения — конечный интервал $$ (a;b) $$, то при сдвиге на период часть точек также может выйти за его пределы. Поэтому такой интервал не может быть областью определения периодической функции. Исключение — весь числовой промежуток $$(-\infty;+\infty)$$, который не является конечным интервалом.
в) Луч. Для луча $$[a;+\infty)$$ или $$(-\infty;b]$$ при сдвиге на период часть точек может оказаться вне области определения. Значит, луч не может быть областью определения периодической функции.
г) Множество целых чисел. Если $$D(f)=\mathbb{Z}$$ и период $$T$$ — целое число, то для любого $$x \in \mathbb{Z}$$ число $$x+T$$ тоже целое. Тогда область определения сохраняется при сдвиге на период, и функция может быть периодической.