Упр.9.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции и определите, является ли функция периодической: а) у = [x]; в) у = [2x]; б) у = [x — 2,5]; г) у = [|х|].

Подробный ответ

а) $$y=[x]$$

Для целой части имеем:

$$y=[x]=k,\quad k\le x<k+1,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

График — ступенчатая функция с горизонтальными отрезками на промежутках $$[k;k+1)$$.

Периодом такая функция не обладает, так как при сдвиге по оси $$x$$ график не совпадает сам с собой.

б) $$y=[x-2{,}5]$$

Пусть $$y=k$$. Тогда

$$k\le x-2{,}5<k+1,$$

откуда

$$k+2{,}5\le x<k+3{,}5.$$

Это график функции $$y=[x]$$, сдвинутый вправо на $$2{,}5$$. Функция не является периодической.

в) $$y=[2x]$$

Пусть $$y=k$$. Тогда

$$k\le 2x<k+1,$$

откуда

$$\frac{k}{2}\le x<\frac{k+1}{2}.$$

График получается сжатием графика $$y=[x]$$ в 2 раза вдоль оси $$x$$. Функция не является периодической.

г) $$y=[|x|]$$

Так как $$|{-x}|=|x|$$, то

$$y(-x)=[|-x|]=[|x|]=y(x),$$

значит, функция чётная. При $$x\ge 0$$ она совпадает с $$y=[x]$$, а при $$x<0$$ — симметрична ей относительно оси $$y$$. Периодической функция не является.