Упр.9.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что 1 — наименьший период функции у = {x}.

Пусть $$T$$ — период функции $$y=\{x\}$$. Тогда по определению периодической функции

$$\{x+T\}=\{x\}$$

для любого $$x$$.

Используем представление дробной части:

$$\{x\}=x-[x], \qquad \{x+T\}=x+T-[x+T].$$

Тогда из равенства $$\{x+T\}=\{x\}$$ получаем

$$x+T-[x+T]=x-[x],$$

откуда

$$T=[x+T]-[x].$$

Правая часть — разность двух целых чисел, значит, $$T$$ — целое число.

Следовательно, все периоды функции $$y=\{x\}$$ — целые числа. Наименьшее положительное целое число равно $$1$$, значит, число $$1$$ является наименьшим периодом функции.

Ответ

$$1$$