Упр.9.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Докажите, что для любого значения x выполняются равенства [x + 1] = [x] + 1, [x — 1] = [x]. б) Докажите, что для любого значения x выполняются равенства {x + 1} = {x} = {x — 1}. в) Докажите, что функция у = [x] не является периодической. г) Докажите, что функция у = {x} является периодической с периодом 1.

1. Докажем равенство $$[x+1]=[x]+1.$$

   Пусть $$[x]=a,$$ где $$a\in \mathbb{Z}.$$ Тогда по определению целой части числа

   $$a\le x<a+1.$$

   Прибавим к неравенству 1:

   $$a+1\le x+1<a+2.$$

   Значит, $$[x+1]=a+1=[x]+1.$$

   Аналогично, из $$a\le x<a+1$$ получаем

   $$a-1\le x-1<a,$$

   следовательно, $$[x-1]=a-1=[x]-1.$$

2. Докажем равенства для дробной части:

   $$\{x+1\}=\{x\}=\{x-1\}.$$

   По определению дробной части

   $$\{x\}=x-[x]=x-a.$$

   Тогда

   $$\{x+1\}=x+1-[x+1]=x+1-(a+1)=x-a=\{x\},$$

   и

   $$\{x-1\}=x-1-[x-1]=x-1-(a-1)=x-a=\{x\}.$$

3. Докажем, что функция $$y=[x]$$ не является периодической.

   Предположим, что у неё есть период $$T\ne 0.$$ Тогда для любого $$x$$ должно выполняться

   $$[x+T]=[x].$$

   Возьмём, например, $$x=0.$$ Тогда

   $$[0]=0,$$

   а при $$T\ne 0$$ значение $$[T]$$ вообще не обязано совпадать с $$[0].$$

   В частности, для любого ненулевого целого сдвига график функции $$y=[x]$$ смещается по вертикали, поэтому равенство $$[x+T]=[x]$$ для всех $$x$$ невозможно. Следовательно, функция $$y=[x]$$ не периодическая.

4. Докажем, что функция $$y=\{x\}$$ периодическая с периодом 1.

   Используем уже полученное равенство:

   $$\{x+1\}=\{x\}.$$

   Значит, для любого $$x$$

   $$y(x+1)=y(x),$$

   то есть число 1 является периодом функции $$y=\{x\}.$$

Ответ

$$[x+1]=[x]+1,\quad [x-1]=[x]-1,\quad \{x+1\}=\{x\}=\{x-1\};$$ функция $$y=[x]$$ не является периодической, а функция $$y=\{x\}$$ периодическая с периодом $$1.$$