Упр.9.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Существует ли такая функция у = f(x , что для любого x из области ее определения выполняется равенство f(2x) = f(x , а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции, б) Существует ли такая функция у = f(x , что для любого x из области ее определения выполняется неравенство f(2x) > f(x y а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

а) Да, такая функция существует. Например, возьмём постоянную функцию $$f(x)=1.$$

Она периодическая при любом периоде $$T$$, так как

$$f(x+T)=1=f(x).$$

Кроме того, для любого $$x$$

$$f(2x)=1=f(x).$$

Значит, условие выполняется.

б) Пусть для любого $$x$$ из области определения выполняется неравенство $$f(2x)>f(x).$$

Тогда при замене $$x$$ на $$2x$$ получим

$$f(4x)>f(2x).$$

Следовательно, для положительных $$x$$ значения функции строго возрастают при переходе от $$x$$ к $$2x$$. Но периодическая функция не может быть строго возрастающей на всей области определения: если $$T$$ — период, то

$$f(x+T)=f(x),$$

а это противоречит строгому возрастанию. Значит, такой периодической функции не существует.

Ответ

а) Существует, например $$f(x)=1$$.
б) Не существует.