Упр.9.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Существует ли такая функция у = f(x , что для любого x из области ее определения выполняется равенство f{x) = f(x + 2 , а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции, б) Существует ли такая функция у = f(x , что для любого x из области ее определения выполняется равенство f(x) = f(x — 3 , а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

а) Да, такая функция существует. Например, возьмём

$$f(x)=6+\sqrt{x}-\sqrt{x}.$$

Тогда область определения: $$D(f)=[0;+\infty).$$

При всех $$x\in D(f)$$ имеем

$$f(x)=6,$$

а также

$$f(x+2)=6+\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}=6.$$

Следовательно, $$f(x)=f(x+2)$$ для любого $$x$$ из области определения.

При этом функция не является периодической, так как она задана только на луче $$[0;+\infty)$$ и не имеет периода в обычном смысле.

б) Да, такая функция существует. Например, возьмём

$$f(x)=10+\sqrt{x}-\sqrt{x}.$$

Тогда $$D(f)=[0;+\infty).$$

Для всех $$x\in D(f)$$

$$f(x)=10,$$

и

$$f(x-3)=10+\sqrt{x-3}-\sqrt{x-3}=10$$

для тех $$x$$, при которых выражение определено. Значит, выполняется равенство $$f(x)=f(x-3).$$

Функция не является периодической.

Ответ

а) Существует, например $$f(x)=6+\sqrt{x}-\sqrt{x}.$$
б) Существует, например $$f(x)=10+\sqrt{x}-\sqrt{x}.$$