Упр.9.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график данной периодической функции у = f(x) и укажите область ее определения, область значений, промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки знаков постоянства; исследуйте функцию на четность-нечетность: 09.27. а) Период функции равен 2 и f(x) = Sx на промежутке (-1; 1]; б) период функции равен 4 и f(x) = 4 — x2 на отрезке [-2; 2]; в) период функции равен 3 и f{x) = 2 — x на промежутке [0; 3); г) период функции равен 1 и f(x) = 2×2 — 1 на промежутке (0; 1).
а) На промежутке $$(-1;1]$$ задана функция $$f(x)=3x$$, период $$T=2$$.
Так как $$3>0$$, функция на данном промежутке возрастает. Значения на концах промежутка:
$$f(-1)=-3,\quad f(1)=3.$$
При периодическом продолжении получаем:
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[-3;3].$$
Функция возрастает на промежутках
$$(-1+2k;\,1+2k],\quad k\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$y_{\max}=3,$$
наименьшее значение:
$$y_{\min}=-3.$$
Нули функции:
$$3x=0 \Rightarrow x=0,$$
с учётом периода:
$$x=2k,\quad k\in\mathbb Z.$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(2k;\,2k+1],\qquad f(x)<0 \text{ при } x\in(2k-1;\,2k).$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
б) На отрезке $$[-2;2]$$ задана функция $$f(x)=4-x^2$$, период $$T=4$$.
Это парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицателен. Вершина:
$$x_0=0,\qquad y_0=4.$$
Нули функции:
$$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$
При периодическом продолжении:
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[0;4].$$
Функция возрастает на
$$[-2+4k;\,4k],$$
и убывает на
$$[4k;\,2+4k],\quad k\in\mathbb Z.$$
Наибольшее и наименьшее значения:
$$y_{\max}=4,\qquad y_{\min}=0.$$
Нули функции:
$$x=4k\pm 2,\quad k\in\mathbb Z.$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(4k-2;\,4k+2).$$
Функция чётная.
в) На промежутке $$[0;3)$$ задана функция $$f(x)=2-x$$, период $$T=3$$.
Так как коэффициент при $$x$$ отрицателен, функция убывает. Нуль функции:
$$2-x=0 \Rightarrow x=2.$$
При периодическом продолжении:
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=(-1;2].$$
Функция убывает на промежутках
$$[3k;\,3k+3),\quad k\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение:
$$y_{\max}=2,$$
наименьшего значения нет.
Нули функции:
$$x=3k+2,\quad k\in\mathbb Z.$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in[3k;\,3k+2),\qquad f(x)<0 \text{ при } x\in(3k+2;\,3k+3).$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
г) На промежутке $$ (0;1) $$ задана функция $$f(x)=2x^2-1$$, период $$T=1$$.
Это парабола, ветви направлены вверх. Нули функции:
$$2x^2-1=0 \Rightarrow x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt2}.$$
На данном промежутке подходит только
$$x=\frac{1}{\sqrt2}.$$
При периодическом продолжении:
$$D(f)=\mathbb R\setminus\mathbb Z,\qquad E(f)=(-1;1).$$
Функция возрастает на каждом промежутке
$$\left(k;\,k+1\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Нули функции:
$$x=k+\frac{1}{\sqrt2},\quad k\in\mathbb Z.$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in\left(k+\frac{1}{\sqrt2};\,k+1\right),\qquad f(x)<0 \text{ при } x\in\left(k;\,k+\frac{1}{\sqrt2}\right).$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[-3;3],\ x=2k,\ k\in\mathbb Z,$$ функция возрастает на $$(-1+2k;\,1+2k]$$, $$y_{\max}=3,\ y_{\min}=-3,$$ ни чётная, ни нечётная.
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;4],\ x=4k\pm 2,\ k\in\mathbb Z,$$ возрастает на $$[-2+4k;\,4k]$$, убывает на $$[4k;\,2+4k]$$, $$y_{\max}=4,\ y_{\min}=0,$$ функция чётная.
в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-1;2],\ x=3k+2,\ k\in\mathbb Z,$$ убывает на $$[3k;\,3k+3),$$ $$y_{\max}=2,$$ наименьшего значения нет, ни чётная, ни нечётная.
г) $$D(f)=\mathbb R\setminus\mathbb Z,\ E(f)=(-1;1),\ x=k+\frac{1}{\sqrt2},\ k\in\mathbb Z,$$ возрастает на $$\left(k;\,k+1\right),$$ наибольшего и наименьшего значений нет, ни чётная, ни нечётная.
