Упр.9.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Функция убывает на всей области своего определения; б) функция имеет бесконечно много промежутков убывания; в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего; г) функция убывает на интервале (3; 11).

Подробный ответ

а) Если функция периодическая и при этом убывает на всей области определения, то для любого периода $$T$$ должно выполняться $$f(x+T)=f(x)$$. Но при убывании из $$x+T>x$$ следует $$f(x+T)<f(x)$$, что противоречит периодичности. Значит, такая функция не может быть периодической.
б) Пример периодической функции, убывающей на бесконечно многих промежутках, — $$f(x)=-\{x\}$$, где $$\{x\}$$ — дробная часть числа. Она убывает на каждом промежутке вида $$[n,n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$, то есть имеет бесконечно много промежутков убывания. Следовательно, такая функция может быть периодической.
в) Пример: $$f(x)=\{x\}+2$$. Тогда $$0\le \{x\}<1$$, значит $$2\le f(x)<3$$. Функция имеет наименьшее значение $$2$$, но наибольшего не имеет. При этом она периодическая с периодом $$1$$. Следовательно, такая функция может быть периодической.
г) Пример: $$f(x)=-\left\{\dfrac{x-3}{8}\right\}$$. Тогда функция убывает на промежутке
$$0\le \dfrac{x-3}{8}<1$$
$$0\le x-3<8$$
$$3\le x<11.$$
Кроме того, функция периодическая, так как дробная часть имеет период $$1$$, а значит для $$\dfrac{x-3}{8}$$ период равен $$8$$. Следовательно, такая функция может быть периодической.