Упр.9.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Функция имеет шесть нулей; б) функция не имеет нулей; в) функция положительна при x > 3 и отрицательна при X < 3; г) при x > 3 функция принимает положительные значения.

Подробный ответ

а) Если функция периодическая, то вместе с каждым нулём $$x_0$$ нулём будет и число $$x_0+T$$, а также $$x_0+2T$$, $$x_0-T$$ и т. д. Значит, у периодической функции либо бесконечно много нулей, либо ни одного. Поэтому функция с шестью нулями периодической быть не может.
б) Функция может не иметь нулей и при этом быть периодической. Например, $$y=\{x\}+1$$, где $$\{x\}$$ — дробная часть числа. Эта функция принимает значения из промежутка $$[1;2)$$ и имеет период $$T=1$$.
в) Если функция положительна при $$x>3$$ и отрицательна при $$x\le 3$$, то при любом периоде $$T$$ можно взять такое $$k\in \mathbb{Z}$$, что $$a+kT\le 3$$ для любого $$a>3$$. Тогда
$$f(a)>0,\qquad f(a+kT)<0,$$
что противоречит периодичности, так как для периодической функции должно быть $$f(a+kT)=f(a)$$. Следовательно, функция не может быть периодической.
г) Если при $$x>3$$ функция принимает положительные значения, это не мешает ей быть периодической. Например, $$y=\{x\}+4$$ — периодическая функция с периодом $$T=1$$, и для всех $$x$$ выполняется $$y>0$$.