Упр.9.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может, — объясните почему: o9.24. а) Областью определения функции является отрезок или луч; б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая; в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки; г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.
а) Если функция периодическая с периодом $$T \ne 0$$, то вместе с каждой точкой $$x \in D(f)$$ в области определения должны лежать и точки $$x+kT$$ при любом целом $$k$$. Поэтому область определения не может быть отрезком или лучом: при сдвиге на период она неизбежно выходит за их границы.
Ответ: не может.
б) Область определения может быть объединением бесконечного числа отрезков. Например, функция
$$f(x)=\sqrt{3-5\{x\}}$$
определена при
$$3-5\{x\}\ge 0,$$
то есть
$$\{x\}\le \frac35.$$
Значит,
$$k \le x \le k+\frac35,\quad k\in \mathbb Z.$$
Это объединение бесконечного числа отрезков, и при этом
$$f(x+1)=f(x),$$
то есть функция периодическая.
Ответ: может.
в) Если функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки $$a$$, то при любом периоде $$T$$ найдётся такое $$x \in D(f)$$, что
$$x+T=a.$$
Тогда $$f(x+T)$$ не определена, а значит, не может выполняться равенство $$f(x+T)=f(x)$$ для всех $$x$$ из области определения. Следовательно, периодической такая функция быть не может.
Ответ: не может.
г) Функция может быть определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек, и при этом быть периодической. Например,
$$f(x)=\frac{5}{\{x\}}$$
не определена при
$$\{x\}=0,$$
то есть при
$$x=k,\quad k\in \mathbb Z.$$
Область определения — вся числовая прямая, кроме бесконечного множества точек, а функция периодична с периодом $$1$$, так как
$$f(x+1)=f(x).$$
Ответ: может.
