Упр.9.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть для любого x из области определения функции у = f(x) выполняются равенства f(x — 3) = f(x + 3) = f(x) и f(x — 5) = f(x + 5) = f(x). Докажите, что для любого x из области определения функции выполняется равенство f(x — 2) = f(x + 2) = f(x).

Из условий имеем:

$$f(x-3)=f(x+3)=f(x),$$

$$f(x-5)=f(x+5)=f(x).$$

Значит, числа $$3$$ и $$5$$ являются периодами функции $$f(x)$$. Тогда их разность тоже является периодом:

$$5-3=2.$$

Следовательно, число $$2$$ — период функции, то есть для любого $$x$$ из области определения:

$$f(x-2)=f(x)=f(x+2).$$

Итак,

$$f(x-2)=f(x+2)=f(x).$$

Ответ

$$f(x-2)=f(x+2)=f(x).$$