Упр.9.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Если функция $$f(x)$$ имеет период $$T_1$$, а функция $$g(x)$$ имеет период $$T_2$$, то для любой линейной комбинации этих функций периодом будет любое общее кратное чисел $$T_1$$ и $$T_2$$. Поэтому достаточно проверить, что число $$T_3$$ является общим кратным $$T_1$$ и $$T_2$$.

$$T_1=2,\quad T_2=7,\quad h(x)=5f(x)-3g(x),\quad T_3=14.$$
Так как $$14=7\cdot 2=2\cdot 7,$$ то $$T_3$$ — общее кратное $$T_1$$ и $$T_2$$. Тогда
$$ h(x+14)=5f(x+14)-3g(x+14)=5f(x)-3g(x)=h(x). $$
$$T_1=15,\quad T_2=10,\quad h(x)=8f(x)+5g(x),\quad T_3=30.$$
Так как $$30=2\cdot 15=3\cdot 10,$$ то $$T_3$$ — общее кратное $$T_1$$ и $$T_2$$. Следовательно,
$$ h(x+30)=8f(x+30)+5g(x+30)=8f(x)+5g(x)=h(x). $$
$$T_1=3,\quad T_2=13,\quad h(x)=0{,}2f(x-3)-g(x+11),\quad T_3=39.$$
Так как $$39=13\cdot 3=3\cdot 13,$$ то $$T_3$$ — общее кратное $$T_1$$ и $$T_2$$. Тогда
$$ h(x+39)=0{,}2f(x+39-3)-g(x+39+11) $$
$$ =0{,}2f(x-3)-g(x+11)=h(x). $$
$$T_1=\frac{\sqrt{13}}{15},\quad T_2=\frac{\sqrt{13}}{10},\quad h(x)=5f(x)-3g(x),\quad T_3=\frac{\sqrt{13}}{5}.$$
Проверим:
$$ \frac{\sqrt{13}}{5}=3\cdot \frac{\sqrt{13}}{15}=2\cdot \frac{\sqrt{13}}{10}. $$
Значит, $$T_3$$ — общее кратное $$T_1$$ и $$T_2$$. Поэтому
$$ h\!\left(x+\frac{\sqrt{13}}{5}\right) =5f\!\left(x+\frac{\sqrt{13}}{5}\right)-3g\!\left(x+\frac{\sqrt{13}}{5}\right) =5f(x)-3g(x)=h(x). $$