Упр.8.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) у = (x2 — 1 2; в) у = (x2 — 3х — 10 2; б) у = (x2 — 9 2 + 6; г) у = (x2 — x — 20 2 — 18.

Подробный ответ

а) $$y=(x^2-1)^2$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-1$$. Тогда $$f(x)=0$$ при $$x=\pm 1$$, а $$f(x)<0$$ на $$(-1;1)$$ и $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$.
Так как $$y=f(x)^2$$, то функция убывает там, где $$f(x)$$ убывает и отрицательна, и возрастает там, где $$f(x)$$ возрастает и положительна.
Следовательно, $$y$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$ и возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$.
б) $$y=(x^2-9)^2+6$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-9$$. Тогда $$f(x)=0$$ при $$x=\pm 3$$, $$f(x)<0$$ на $$(-3;3)$$ и $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$.
Так как $$y=f(x)^2+6$$, то постоянное число $$6$$ на монотонность не влияет.
Значит, $$y$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;3]$$ и возрастает на $$[-3;0]\cup[3;+\infty)$$.
в) $$y=(x^2-3x-10)^2$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-3x-10$$.
Найдём нули:
$$ x^2-3x-10=0 \\ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=49 \\ x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{2} $$
Отсюда $$x_1=-2$$, $$x_2=5$$, значит
$$ x^2-3x-10=(x+2)(x-5). $$
Так как ветви параболы направлены вверх, то $$f(x)<0$$ на $$(-2;5)$$ и $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;-2)\cup(5;+\infty)$$.
Следовательно, $$y$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[1{,}5;5]$$ и возрастает на $$[-2;1{,}5]\cup[5;+\infty)$$.
г) $$y=(x^2-x-20)^2-18$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-x-20$$.
Найдём нули:
$$ x^2-x-20=0 \\ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-20)=81 \\ x_{1,2}=\frac{1\pm 9}{2} $$
Отсюда $$x_1=-4$$, $$x_2=5$$, значит
$$ x^2-x-20=(x+4)(x-5). $$
Так как ветви параболы направлены вверх, то $$f(x)<0$$ на $$(-4;5)$$ и $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;-4)\cup(5;+\infty)$$.
Постоянное число $$-18$$ на монотонность не влияет. Поэтому $$y$$ убывает на $$(-\infty;-4]\cup[0{,}5;5]$$ и возрастает на $$[-4;0{,}5]\cup[5;+\infty)$$.