Упр.8.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим уравнение

$$5x^2-3|x|+\frac{1}{x^2}+\frac{3x^2+4|x|+11}{5x^2+1}=6.$$

Обозначим

$$f(x)=5x^2-3|x|+\frac{1}{x^2}+\frac{3x^2+4|x|+11}{5x^2+1}-6.$$

Тогда нужно найти значения $$x$$, при которых $$f(x)=0$$.

Область определения:

$$x^2\ne 0 \Rightarrow x\ne 0,$$

а знаменатель $$5x^2+1$$ при любых $$x$$ не обращается в нуль. Значит,

$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Заметим, что функция чётная:

$$f(-x)=5(-x)^2-3|-x|+\frac{1}{(-x)^2}+\frac{3(-x)^2+4|-x|+11}{5(-x)^2+1}-6=f(x).$$

Следовательно, если $$a$$ — корень уравнения, то и $$-a$$ тоже корень.

Проверим значение при $$x=1$$:

$$ f(1)=5-3+\frac{1}{1^2}+\frac{3\cdot 1^2+4|1|+11}{5\cdot 1^2+1}-6 =5-3+1+\frac{18}{6}-6=0. $$

Значит, $$x=1$$ — корень, а по чётности функции и $$x=-1$$ тоже корень.

Сумма всех корней равна

$$1+(-1)=0.$$

Ответ

$$0$$