Упр.8.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x) 2 возрастает на промежутке X. б) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x) 2 убывает на промежутке X. в) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x) 2 убывает на промежутке X. г) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x) 2 возрастает на промежутке X.
Если функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$X$$ и принимает только положительные значения, то при $$x_1<x_2$$ имеем
$$0<f(x_1)<f(x_2).$$
Так как оба числа положительны, то при возведении в квадрат знак неравенства сохраняется:
$$\bigl(f(x_1)\bigr)^2<\bigl(f(x_2)\bigr)^2.$$
Следовательно, $$y=\bigl(f(x)\bigr)^2$$ возрастает на промежутке $$X$$.
Если функция $$y=f(x)$$ убывает на промежутке $$X$$ и принимает только положительные значения, то при $$x_1<x_2$$
$$0<f(x_2)<f(x_1).$$
Тогда
$$\bigl(f(x_2)\bigr)^2<\bigl(f(x_1)\bigr)^2,$$
значит, $$y=\bigl(f(x)\bigr)^2$$ убывает на промежутке $$X$$.
Если функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$X$$ и принимает только отрицательные значения, то при $$x_1<x_2$$
$$f(x_1)<f(x_2)<0.$$
При умножении на $$-1$$ знак неравенства меняется:
$$-f(x_1)>-f(x_2)>0.$$
По первому пункту функция $$y=\bigl(-f(x)\bigr)^2=\bigl(f(x)\bigr)^2$$ убывает на промежутке $$X$$.
Если функция $$y=f(x)$$ убывает на промежутке $$X$$ и принимает только отрицательные значения, то при $$x_1<x_2$$
$$f(x_2)<f(x_1)<0.$$
Тогда
$$-f(x_2)>-f(x_1)>0.$$
По первому пункту функция $$y=\bigl(-f(x)\bigr)^2=\bigl(f(x)\bigr)^2$$ возрастает на промежутке $$X$$.
Ответ
а) $$y=\bigl(f(x)\bigr)^2$$ возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.
