Упр.8.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Пусть функция $$y=f(x)$$ определена на множестве $$R$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=f(x)+f(-x).$$ Тогда

$$ y(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=y(x). $$

Значит, функция $$y=f(x)+f(-x)$$ чётная.

2) Рассмотрим функцию $$y=f(x)-f(-x).$$ Тогда

$$ y(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-y(x). $$

Значит, функция $$y=f(x)-f(-x)$$ нечётная.

Оба утверждения доказаны.

б) Пусть функция $$y=f(x)$$ определена на симметричном множестве.

1) Рассмотрим функцию

$$ y=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. $$

Тогда

$$ y(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=y(x). $$

Следовательно, эта функция чётная.

2) Рассмотрим функцию

$$ y=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. $$

Тогда

$$ y(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-y(x). $$

Следовательно, эта функция нечётная.

3) Сумма чётной и нечётной функций:

$$ \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2} =\frac{2f(x)}{2}=f(x). $$

Утверждение доказано.

Ответ

$$f(x)+f(-x)$$ — чётная функция, $$f(x)-f(-x)$$ — нечётная; при симметричной области определения функции $$\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ и $$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ соответственно чётная и нечётная, а их сумма равна $$f(x)$$.