Упр.8.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию

$$y=2\sqrt{x^4-1}+\sqrt[4]{1-x^2}.$$

Найдём область определения.

Для первого корня:

$$x^4-1\ge 0 \;\Rightarrow\; (x^2-1)(x^2+1)\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

Для второго корня:

$$1-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 1.$$

Пересечение этих условий:

$$D(f)=\{-1,1\}.$$

Проверим значения функции в этих точках:

$$y(-1)=2\sqrt{(-1)^4-1}+\sqrt[4]{1-(-1)^2}=2\sqrt0+\sqrt[4]0=0,$$

$$y(1)=2\sqrt{1^4-1}+\sqrt[4]{1-1^2}=2\sqrt0+\sqrt[4]0=0.$$

Так как для всех $x\in D(f)$ выполняется $-x\in D(f)$ и

$$y(-x)=2\sqrt{(-x)^4-1}+\sqrt[4]{1-(-x)^2}=2\sqrt{x^4-1}+\sqrt[4]{1-x^2}=y(x),$$

то функция чётная. Кроме того, на своей области определения она принимает одинаковые значения в симметричных точках, а здесь эти значения равны нулю, значит функция одновременно является и нечётной.

2) Примеры таких функций:

$$y=x-x,$$

$$y=9\sqrt[6]{x^{10}-1}-\sqrt[4]{1-x^{22}},$$

$$y=\sqrt{x^2-2}+\sqrt{2-x^2},$$

$$y=\sqrt{x^8-25}+\sqrt{5-x^4}.$$

3) Общий вид таких функций:

$$y=p\sqrt[2n]{x^{2m}-1}-q\sqrt[2k]{1-x^{2t}}, \quad n,m,k,t\in \mathbb{N},$$

или

$$y=\sqrt[2n]{x^{2m}-c^{2k}}-\sqrt[2n]{c^{2k}-x^{2m}}, \quad n,m,k,t\in \mathbb{N}.$$