Упр.8.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Опираясь на теорему из упражнения 8.51, решите уравнение:

Подробный ответ

$$\sqrt{x^{100}+49}=7-x^4$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{x^{100}+49}, \qquad g(x)=7-x^4.$$
Функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение при $$x=0$$:
$$f(0)=\sqrt{0^{100}+49}=7.$$
Функция $$g(x)$$ принимает наибольшее значение при $$x=0$$:
$$g(0)=7-0^4=7.$$
Значит, равенство возможно только при $$x=0$$.
$$\sqrt{x^2-2x+5}=1+2x-x^2$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}, \qquad g(x)=1+2x-x^2.$$
Преобразуем выражения под корнем и квадратный трёхчлен:
$$x^2-2x+5=(x-1)^2+4,$$
$$1+2x-x^2=2-(x-1)^2.$$
Тогда
$$f(x)=\sqrt{(x-1)^2+4}\ge 2,$$
и равенство достигается при $$x=1$$.
Также
$$g(x)=2-(x-1)^2\le 2,$$
и равенство достигается при $$x=1$$.
Следовательно, уравнение имеет решение только при $$x=1$$.
$$\sqrt{x^{22}+64}=8-x^{12}-x^{14}$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{x^{22}+64}, \qquad g(x)=8-x^{12}-x^{14}.$$
Имеем
$$f(x)\ge \sqrt{64}=8,$$
причём равенство достигается при $$x=0$$.
С другой стороны,
$$g(x)\le 8,$$
и равенство достигается при $$x=0$$.
Значит, равенство возможно только при $$x=0$$.
$$\sqrt{-x^2-4x-1}=x^2+4x+7$$
Левая часть определена только при
$$-x^2-4x-1\ge 0.$$
Но тогда
$$x^2+4x+1\le 0,$$
а значит
$$x^2+4x+7=(x^2+4x+1)+6\le 6.$$
При этом правая часть неотрицательна, а левая часть не превосходит $$\sqrt{-x^2-4x-1}$$, поэтому равенство невозможно.
Следовательно, решений нет.