Упр.8.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции для каждого значения параметра а: а) у = x2 — 4x на отрезке [-1; o]; б) у = -X2 + 2x — 3 на отрезке [а; 3].

а) Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x$$ на отрезке $$[-1;a]$$.

Найдём абсциссу вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2.$$

Так как парабола ветвями вверх, то при $$x<2$$ функция убывает, а при $$x>2$$ возрастает.

Вычислим значения функции в характерных точках:

$$y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=5,$$

$$y(2)=2^2-4\cdot 2=-4,$$

$$y(a)=a^2-4a.$$

Теперь сравним значения на концах отрезка и в вершине.

Если $$-1<a\le 2,$$ то на отрезке $$[-1;a]$$ функция убывает, значит

$$y_{\max}=5,\qquad y_{\min}=a^2-4a.$$

Если $$2\le a\le 5,$$ то точка вершины принадлежит отрезку, поэтому

$$y_{\min}=-4,\qquad y_{\max}=5.$$

Если $$a>5,$$ то на отрезке есть вершина, а значение в правом конце больше значения в вершине, значит

$$y_{\min}=-4,\qquad y_{\max}=a^2-4a.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-x^2+2x-3$$ на отрезке $$[a;3]$$.

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.$$

Парабола ветвями вниз, значит при $$x<1$$ функция возрастает, а при $$x>1$$ убывает.

Вычислим значения функции:

$$y(a)=-a^2+2a-3,$$

$$y(1)=-1+2-3=-2,$$

$$y(3)=-9+6-3=-6.$$

Рассмотрим возможные случаи.

Если $$a\le -1,$$ то на отрезке $$[a;3]$$ вершина принадлежит отрезку, поэтому

$$y_{\max}=-2,\qquad y_{\min}=-6.$$

Если $$-1<a<1,$$ то функция возрастает на $$[a;1]$$ и убывает на $$[1;3]$$, значит

$$y_{\max}=-2,\qquad y_{\min}=-6.$$

Если $$1\le a<3,$$ то на отрезке $$[a;3]$$ функция убывает, поэтому

$$y_{\max}=y(a)=-a^2+2a-3,\qquad y_{\min}=-6.$$

Ответ

а) если $$-1<a\le 2,$$ то $$y_{\max}=5,$$ $$y_{\min}=a^2-4a$$; если $$2\le a\le 5,$$ то $$y_{\max}=5,$$ $$y_{\min}=-4$$; если $$a>5,$$ то $$y_{\max}=a^2-4a,$$ $$y_{\min}=-4$$.

б) если $$a\le 1,$$ то $$y_{\max}=-2,$$ $$y_{\min}=-6$$; если $$1\le a<3,$$ то $$y_{\max}=-a^2+2a-3,$$ $$y_{\min}=-6$$.