Упр.8.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для каждого значения параметра а: а) у = x2 + 4x + 5a на отрезке [-1; 1]; б) у = -X2 + 4x — a на отрезке [-1; 3].

Подробный ответ

а) $$y=x^2+4x+5a$$ на отрезке $$[-1;1].$$

Парабола ветвями вверх, значит наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются либо в вершине, либо на концах отрезка. Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2.$$

Точка вершины лежит вне отрезка $$[-1;1],$$ поэтому достаточно проверить концы отрезка:

$$y(-1)=(-1)^2+4\cdot(-1)+5a=1-4+5a=5a-3,$$

$$y(1)=1^2+4\cdot 1+5a=1+4+5a=5a+5.$$

Так как парабола ветвями вверх и вершина левее отрезка, то на отрезке функция возрастает. Следовательно,

$$y_{\min}=y(-1)=5a-3,\qquad y_{\max}=y(1)=5a+5.$$

б) $$y=-x^2+4x-a$$ на отрезке $$[-1;3].$$

Парабола ветвями вниз. Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2.$$

Вершина принадлежит отрезку $$[-1;3],$$ значит наибольшее значение достигается в вершине, а наименьшее — на одном из концов отрезка. Найдём значения функции в точках $$x=-1,\ 2,\ 3$$:

$$y(-1)=-(-1)^2+4\cdot(-1)-a=-1-4-a=-5-a,$$

$$y(2)=-(2)^2+4\cdot 2-a=-4+8-a=4-a,$$

$$y(3)=-(3)^2+4\cdot 3-a=-9+12-a=3-a.$$

Сравниваем значения: наибольшее — $$4-a,$$ наименьшее — $$-5-a.$$