Упр.8.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее значение функции: а) у = |x| + |х — 2|; б) у = |x — 1| + |x — 3| + |х — 5|; в) у = |x| + |х — 2| + |х — 4|; г) у = |x| + |x — 1| +)… + |х — п|, n € N.

а) $$y=|x|+|x-2|$$

Рассмотрим промежутки:

$$x<0:\quad y=-x-(x-2)=-2x+2$$

$$0\le x<2:\quad y=x-(x-2)=2$$

$$x\ge 2:\quad y=x+(x-2)=2x-2$$

Наименьшее значение достигается на отрезке $$0\le x\le 2$$ и равно $$2$$.

б) $$y=|x-1|+|x-3|+|x-5|$$

Рассмотрим промежутки:

$$x<1:\quad y=-(x-1)-(x-3)-(x-5)=-3x+9$$

$$1\le x<3:\quad y=(x-1)-(x-3)-(x-5)=-x+7$$

$$3\le x<5:\quad y=(x-1)+(x-3)-(x-5)=x+1$$

$$x\ge 5:\quad y=(x-1)+(x-3)+(x-5)=3x-9$$

Минимум достигается при $$x=3$$:

$$y_{\min}=|3-1|+|3-3|+|3-5|=2+0+2=4$$

в) $$y=|x|+|x-2|+|x-4|$$

Рассмотрим промежутки:

$$x<0:\quad y=-x-(x-2)-(x-4)=-3x+6$$

$$0\le x<2:\quad y=x-(x-2)-(x-4)=-x+6$$

$$2\le x<4:\quad y=x+(x-2)-(x-4)=x+2$$

$$x\ge 4:\quad y=x+(x-2)+(x-4)=3x-6$$

Минимум достигается при $$x=2$$:

$$y_{\min}=|2|+|2-2|+|2-4|=2+0+2=4$$

г) $$y=|x|+|x-1|+\dots+|x-n|,\quad n\in\mathbb N$$

Сумма модулей принимает наименьшее значение в середине набора точек $$0,1,2,\dots,n$$.

Если $$n$$ чётное, то минимум достигается при $$x=\dfrac n2$$:

$$y_{\min}=2\left(1+2+\dots+\frac n2\right)=2\cdot \frac{\frac n2\left(\frac n2+1\right)}{2}=\frac{n(n+2)}{4}$$

Если $$n$$ нечётное, то минимум достигается при любом $$x\in\left[\dfrac{n-1}{2},\dfrac{n+1}{2}\right]$$, и

$$y_{\min}=2\left(1+2+\dots+\frac{n-1}{2}\right)+\frac{n+1}{2}=\frac{(n+1)^2}{4}$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$4$$; в) $$4$$; г) $$\dfrac{n(n+2)}{4}$$ при чётном $$n$$, $$\dfrac{(n+1)^2}{4}$$ при нечётном $$n$$.