Упр.8.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите: а) если каждая из двух функций возрастает на промежутке X, то их сумма также возрастает на этом промежутке; б) если каждая из двух функций убывает на промежутке X, то их сумма также убывает на этом промежутке.

а) Пусть функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ возрастают на промежутке $$X$$. Тогда для любых $$x_1, x_2 \in X$$, таких что $$x_2>x_1$$, имеем:

$$f(x_2)>f(x_1), \qquad g(x_2)>g(x_1).$$

Сложим эти неравенства:

$$f(x_2)+g(x_2)>f(x_1)+g(x_1).$$

Значит,

$$\bigl(f+g\bigr)(x_2)>\bigl(f+g\bigr)(x_1),$$

то есть функция $$y=f(x)+g(x)$$ возрастает на $$X$$.

б) Пусть функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ убывают на промежутке $$X$$. Тогда для любых $$x_1, x_2 \in X$$, таких что $$x_2>x_1$$, имеем:

$$f(x_2)<f(x_1), \qquad g(x_2)<g(x_1).$$

Сложим эти неравенства:

$$f(x_2)+g(x_2)<f(x_1)+g(x_1).$$

Следовательно,

$$\bigl(f+g\bigr)(x_2)<\bigl(f+g\bigr)(x_1),$$

то есть функция $$y=f(x)+g(x)$$ убывает на $$X$$.

Ответ

Сумма двух возрастающих функций на промежутке $$X$$ возрастает, а сумма двух убывающих функций на промежутке $$X$$ убывает.