Упр.8.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Используя результаты упражнения 8.42, найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
$$y=\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2}{x+\frac{1}{x}}, \quad x\ne 0.$$
Рассмотрим функцию $$t=x+\frac{1}{x}.$$
Если $$x>0,$$ то $$t\ge 2.$$ Тогда
$$0<\frac{2}{t}\le 1.$$
Если $$x<0,$$ то $$t\le -2.$$ Тогда
$$-1\le \frac{2}{t}<0.$$
Следовательно, $$y_{\max}=1,$$ $$y_{\min}=-1.$$
$$y=\frac{4x-4}{x^2-2x+17}=\frac{4(x-1)}{(x-1)^2+16}.$$
Положим $$t=\frac{x-1}{4},$$ тогда $$x-1=4t$$ и
$$y=\frac{16t}{16t^2+16}=\frac{t}{t^2+1}=\frac{1}{t+\frac{1}{t}}, \quad t\ne 0.$$
Если $$t>0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$ значит
$$0<y\le \frac{1}{2}.$$
Если $$t<0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\le -2,$$ значит
$$-\frac{1}{2}\le y<0.$$
Следовательно, $$y_{\max}=\frac{1}{2},$$ $$y_{\min}=-\frac{1}{2}.$$
$$y=\frac{10x}{x^2+4}=\frac{10x}{2x+\frac{4}{x}}=\frac{5}{\frac{x}{2}+\frac{2}{x}}.$$
Положим $$t=\frac{x}{2},$$ тогда $$\frac{2}{x}=\frac{1}{t}$$ и
$$y=\frac{5}{t+\frac{1}{t}}, \quad t\ne 0.$$
Если $$t>0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$ значит
$$0<y\le \frac{5}{2}.$$
Если $$t<0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\le -2,$$ значит
$$-\frac{5}{2}\le y<0.$$
Следовательно, $$y_{\max}=\frac{5}{2},$$ $$y_{\min}=-\frac{5}{2}.$$
$$y=\frac{49(x-2)}{x^2-4x+53}=\frac{49(x-2)}{(x-2)^2+49}.$$
Положим $$t=\frac{x-2}{7},$$ тогда $$x-2=7t$$ и
$$y=\frac{343t}{49t^2+49}=\frac{7t}{t^2+1}=\frac{7}{t+\frac{1}{t}}, \quad t\ne 0.$$
Если $$t>0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$ значит
$$0<y\le \frac{7}{2}.$$
Если $$t<0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\le -2,$$ значит
$$-\frac{7}{2}\le y<0.$$
Следовательно, $$y_{\max}=\frac{7}{2},$$ $$y_{\min}=-\frac{7}{2}.$$
Ответ
а) $$y_{\max}=1,\; y_{\min}=-1$$; б) $$y_{\max}=\frac{1}{2},\; y_{\min}=-\frac{1}{2}$$; в) $$y_{\max}=\frac{5}{2},\; y_{\min}=-\frac{5}{2}$$; г) $$y_{\max}=\frac{7}{2},\; y_{\min}=-\frac{7}{2}$$.
