Упр.8.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции у = -2×2 — 12x + 3: а) на отрезке [-1; 3]; в) на луче [-4; +oo); б) на луче (-oo; -4]; г) на R.

Функция $$y=-2x^2-12x+3$$ — квадратичная. Приведём её к вершиной форме:

$$ y=-2(x^2+6x)+3=-2\bigl((x+3)^2-9\bigr)+3=-2(x+3)^2+21. $$

Так как $$-2<0,$$ ветви параболы направлены вниз, значит в вершине достигается наибольшее значение:

$$x_0=-3,\qquad y_{\max}=21.$$

а) На отрезке $$[-1;3]$$ проверим значения на концах:

$$ y(-1)=-2\cdot(-1)^2-12\cdot(-1)+3=-2+12+3=13, $$

$$ y(3)=-2\cdot 3^2-12\cdot 3+3=-18-36+3=-51. $$

Следовательно, наибольшее значение равно $$13,$$ наименьшее — $$-51.$$

б) На луче $$(-\infty;-4]$$ вершина $$x=-3$$ не входит в область, а при движении к ней значения функции возрастают. Поэтому наибольшее значение достигается в правом конце луча:

$$ y(-4)=-2\cdot(-4)^2-12\cdot(-4)+3=-32+48+3=19. $$

Наименьшего значения нет, так как при $$x\to -\infty$$ функция неограниченно убывает.

в) На луче $$[-4;+\infty)$$ вершина $$x=-3$$ принадлежит области определения, значит там достигается наибольшее значение:

$$ y(-3)=-2\cdot(-3)^2-12\cdot(-3)+3=-18+36+3=21. $$

Наименьшего значения нет, так как при $$x\to +\infty$$ функция неограниченно убывает.

г) На множестве $$\mathbb{R}$$ наибольшее значение достигается в вершине параболы:

$$y_{\max}=21 \text{ при } x=-3.$$

Наименьшего значения нет, так как ветви параболы направлены вниз.

Ответ

а) $$y_{\max}=13,$$ $$y_{\min}=-51.$$
б) $$y_{\max}=19,$$ наименьшего значения нет.
в) $$y_{\max}=21,$$ наименьшего значения нет.
г) $$y_{\max}=21,$$ наименьшего значения нет.