Упр.8.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Рассмотрим функцию $$y=x+\frac{1}{x}.$$

Найдём, какие значения может принимать $$y$$ при разных знаках $$x$$.

1) Если $$x<0$$, то

$$ y=x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}. $$

Умножим уравнение $$y=x+\frac{1}{x}$$ на $$x$$:

$$ yx=x^2+1, $$
$$ x^2-yx+1=0. $$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Чтобы оно имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$ D=y^2-4\ge 0, $$
$$ y^2\ge 4, $$
$$ y\le -2 \text{ или } y\ge 2. $$

Но при $$x<0$$ имеем $$\frac{1}{x}<0$$, значит $$y=x+\frac{1}{x}<0$$. Следовательно, остаётся только

$$ y\le -2. $$

2) Если $$x>0$$, то

$$ y=x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}. $$

Аналогично получаем:

$$ x^2-yx+1=0, $$
$$ D=y^2-4\ge 0, $$
$$ y\le -2 \text{ или } y\ge 2. $$

Но при $$x>0$$ оба слагаемых $$x$$ и $$\frac{1}{x}$$ положительны, значит $$y>0$$. Следовательно, остаётся только

$$ y\ge 2. $$

Итак, при $$x<0$$ значение функции не превосходит $$-2$$, а при $$x>0$$ — не меньше $$2$$.

Ответ

При $$x<0$$: $$y\le -2$$; при $$x>0$$: $$y\ge 2$$.