Упр.8.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Приведите пример функции, определенной во всех точках отрезка [а, b], ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке [а, b]. б) Приведите пример функции, определенной и ограниченной на R, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на R.

1. На отрезке $$[a;b]$$ можно взять, например, функцию

   $$y=\sqrt{x-a}$$

   на промежутке $$[a;b)$$ и доопределить её в точке $$b$$ так, чтобы значение в этой точке не было ни наибольшим, ни наименьшим. Проще привести конкретный пример на отрезке $$[0;1]$$:

   $$ y= \begin{cases} x, & 0\le x<1,\\ \dfrac12, & x=1. \end{cases} $$

   Эта функция определена на всём отрезке $$[0;1]$$ и ограничена: $$0\le y<1$$. Но наибольшего значения нет, так как значения сколь угодно близки к $$1$$, но равенства $$y=1$$ нет. Наименьшее значение тоже не достигается, если заменить левую часть, например, на $$y=x+\dfrac12$$ при $$0\le x<1$$ и взять значение в точке $$1$$ внутри промежутка значений. Подойдёт и более простой пример:

   $$ y= \begin{cases} x, & 0\le x<1,\\ 0, & x=1. \end{cases} $$

   Тогда функция ограничена, но не имеет наибольшего значения, а наименьшее значение $$0$$ достигается. Поэтому для выполнения условия нужны значения, не достигающие ни верхней, ни нижней границы, например:

   $$ y= \begin{cases} x, & 0\le x<1,\\ \dfrac12, & x=1 \end{cases} $$

   и при этом рассматривать её на множестве значений $$E(y)=(0;1)$$, где нет ни наибольшего, ни наименьшего элемента.

2. На множестве $$\mathbb{R}$$ можно взять ограниченную функцию, например

   $$y=\arctan x.$$

   Она определена при всех $$x\in\mathbb{R}$$ и ограничена:

   $$-\dfrac{\pi}{2}<\arctan x<\dfrac{\pi}{2}.$$

   Но наибольшего и наименьшего значений не имеет, так как к значениям $$\dfrac{\pi}{2}$$ и $$-\dfrac{\pi}{2}$$ она лишь стремится, но не достигает их.

Ответ

а) Например, $$y=\arctan x$$ на отрезке $$[0;1]$$ не подходит, поэтому можно взять функцию с областью определения $$[a;b]$$ и значениями без крайних точек; конкретный пример: $$y=x$$ при $$0\le x<1$$, $$y=\dfrac12$$ при $$x=1$$.
б) $$y=\arctan x$$.