Упр.8.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Убедитесь, что функция, график которой изображен на заданном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически:

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения, если её множество значений является открытым интервалом $$ (a; b) $$. Тогда для любых чисел $$m, M \in (a; b)$$ можно подобрать такие значения $$x \in D(f)$$, что

$$a < f(x) < m, \qquad M < f(x) < b.$$

Значит, наибольшего и наименьшего значений у функции нет.

а) Рисунок 22.

На отрезке $$[-3; 0)$$ прямая проходит через точки $$(-3; 1)$$ и $$(0; -3)$$. Тогда

$$ \begin{aligned} 1 &= k \cdot (-3) + b, \\ -3 &= k \cdot 0 + b. \end{aligned} $$

Отсюда $$b=-3$$, а

$$1=-3k-3 \Rightarrow k=-\frac{4}{3}.$$

Следовательно,

$$y=-\frac{4}{3}x-3.$$

На интервале $$(0; 3]$$ прямая проходит через точки $$(0; 2)$$ и $$(3; -2)$$. Тогда

$$ \begin{aligned} 2 &= k \cdot 0 + b, \\ -2 &= 3k + b. \end{aligned} $$

Отсюда $$b=2$$, а

$$-2=3k+2 \Rightarrow k=-\frac{4}{3}.$$

Следовательно,

$$y=-\frac{4}{3}x+2.$$

Итак,

$$ f(x)= \begin{cases} -\frac{4}{3}x-3, & -3 \le x < 0, \\ -\frac{4}{3}x+2, & 0 < x \le 3. \end{cases} $$

б) Рисунок 23.

Уравнение параболы запишем в виде

$$y=a(x+b)^2+c.$$

Вершина параболы находится в точке $$(1; -2)$$, значит

$$b=-1,\qquad c=-2,$$

то есть

$$y=a(x-1)^2-2.$$

Парабола проходит через точку $$(4; 3)$$, поэтому

$$3=a(4-1)^2-2.$$

Тогда

$$3=9a-2,\qquad 9a=5,\qquad a=\frac{5}{9}.$$

Следовательно,

$$y=\frac{5}{9}(x-1)^2-2.$$

С учётом промежутков на рисунке получаем

$$ f(x)= \begin{cases} \frac{5}{9}(x-1)^2-2, & -2 < x < 1, \\ \frac{5}{9}(x-1)^2-2, & 1 < x < 4. \end{cases} $$

Ответ

$$ \text{а) } f(x)= \begin{cases} -\frac{4}{3}x-3, & -3 \le x < 0, \\ -\frac{4}{3}x+2, & 0 < x \le 3; \end{cases} \qquad \text{б) } f(x)=\frac{5}{9}(x-1)^2-2. $$