Упр.8.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Докажите, что функции, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, ограничены в области их определения. б) Докажите: если функция имеет наибольшее и наименьшее значение на множестве M, то она ограничена на этом множестве.

а) Если на рисунках к упражнениям 8.7 и 8.8 изображены графики функций, то по ним видно, что каждая из этих функций принимает только значения из некоторого конечного промежутка: сверху график не уходит выше определённого уровня, и снизу не опускается ниже определённого уровня. Значит, каждая из данных функций ограничена в области определения.

б) Пусть функция $$y=f(x)$$ определена на множестве $$M$$ и имеет на этом множестве наименьшее и наибольшее значения:

$$f(x_1)=m,\qquad f(x_2)=N.$$

Тогда для любого $$x\in M$$ выполняется неравенство

$$m\le f(x)\le N.$$

Следовательно, функция $$y=f(x)$$ ограничена снизу числом $$m$$ и сверху числом $$N$$ на множестве $$M$$.

Ответ

Если функция имеет на множестве $$M$$ наибольшее и наименьшее значения, то она ограничена на этом множестве.