Упр.8.16(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) x + |x + 2| — 2 = а; б) 5x + |х — 7| — 2 = 3а.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x+|x+2|-2.$$

Если $$x\ge -2,$$ то $$|x+2|=x+2,$$ и тогда

$$f(x)=x+(x+2)-2=2x.$$

При $$x\ge -2$$ получаем $$f(x)\ge -4.$$

Если $$x<-2,$$ то $$|x+2|=-(x+2),$$ и тогда

$$f(x)=x-(x+2)-2=-4.$$

Значит, множество значений выражения равно

$$[-4;+\infty).$$

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=5x+|x-7|-2.$$

Если $$x\ge 7,$$ то $$|x-7|=x-7,$$ и тогда

$$g(x)=5x+(x-7)-2=6x-9.$$

При $$x\ge 7$$ имеем $$g(x)\ge 6\cdot 7-9=33,$$ значит

$$3a\ge 33,\qquad a\ge 11.$$

Если $$x<7,$$ то $$|x-7|=7-x,$$ и тогда

$$g(x)=5x+(7-x)-2=4x+5.$$

При $$x<7$$ имеем $$g(x)<4\cdot 7+5=33,$$ значит

$$3a<33,\qquad a<11.$$

Объединяя оба случая, получаем, что выражение $$5x+|x-7|-2$$ принимает все значения из промежутка $$(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) $$[-4;+\infty)$$; б) $$(-\infty;+\infty).$$