Упр.8.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите: а) если функция у = f(x) возрастает или убывает на промежутке X, то уравнение f(x) = а не может иметь более одного корня на X; б) если функция у = f(x) возрастает на промежутке X, а функция у = g(x) убывает на промежутке X, то уравнение f{x) = g(x) не может иметь более одного корня на X.

Подробный ответ

а) Предположим, что уравнение $$f(x)=a$$ имеет два различных корня $$x_1$$ и $$x_2$$, где $$x_1\ne x_2$$. Тогда

$$f(x_1)=a,\qquad f(x_2)=a,$$

то есть

$$f(x_1)=f(x_2).$$

Но функция $$y=f(x)$$ на промежутке $$X$$ либо возрастает, либо убывает. Для такой функции равенство значений в разных точках невозможно, значит, должно быть $$x_1=x_2$$. Противоречие.

Следовательно, уравнение $$f(x)=a$$ не может иметь более одного корня на $$X$$.

б) Предположим, что уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет два различных корня $$x_1$$ и $$x_2$$, где $$x_1\ne x_2$$. Тогда

$$f(x_1)=g(x_1),\qquad f(x_2)=g(x_2).$$

Рассмотрим случай $$x_1<x_2$$. Так как $$f(x)$$ возрастает на $$X$$, а $$g(x)$$ убывает на $$X$$, то

$$f(x_1)<f(x_2),\qquad g(x_1)>g(x_2).$$

Из равенств $$f(x_1)=g(x_1)$$ и $$f(x_2)=g(x_2)$$ получаем

$$f(x_1)<f(x_2)=g(x_2)<g(x_1)=f(x_1),$$

что невозможно.

Если же $$x_1>x_2$$, получаем аналогичное противоречие.

Значит, уравнение $$f(x)=g(x)$$ не может иметь более одного корня на $$X$$.