Упр.8.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [-1; 1] и убывает на нем. Решите: а) уравнение f(3x + 2) = f(4×2 + x); б) неравенство f(3x + 2) < f(4x2 + x).

Подробный ответ

Так как функция $$y=f(x)$$ определена на отрезке $$[-1;1]$$ и убывает на нём, то для равенства значений функции нужно, чтобы совпадали аргументы, а для неравенства $$f(a)b$$.

Решим уравнение
$$f(3x+2)=f(4x^2+x).$$
При убывающей функции это возможно только при
$$3x+2=4x^2+x.$$
Тогда
$$4x^2-2x-2=0,$$
$$2x^2-x-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$
Получаем
$$x_1=-\frac12,\quad x_2=1.$$
Проверим:
при $$x=-\frac12$$
$$3x+2=4x^2+x=\frac12,$$
при $$x=1$$
$$3x+2=4x^2+x=5,$$
но $$5\notin[-1;1]$$, значит это значение не подходит.
Следовательно, решение уравнения:
$$x=-\frac12.$$
Решим неравенство
$$f(3x+2)<f(4x^2+x).$$
Для убывающей функции это равносильно неравенству
$$3x+2>4x^2+x.$$
Тогда
$$4x^2-2x-2<0,$$
$$2x^2-x-1<0,$$
$$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1).$$
Отсюда
$$-\frac12<x<1.$$
Теперь учтём область определения: оба аргумента должны принадлежать отрезку $$[-1;1]$$.
Для левого аргумента:
$$-1\le 3x+2\le 1,$$
$$-1\le x\le -\frac13.$$
Для правого аргумента:
$$-1\le 4x^2+x\le 1.$$
Из этих условий достаточно взять пересечение с найденным промежутком:
$$\left(-\frac12;1\right)\cap\left[-1;-\frac13\right]=\left(-\frac12;-\frac13\right].$$