Упр.8.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть функция у = f(x) определена на интервале (-1; 1) и возрастает на нем. Решите: а) уравнение f(3x + 2) = f(4×2 + x); б) неравенство f(3x + 2) < f(4x2 + x).

Подробный ответ

Так как функция $$y=f(x)$$ определена на интервале $$(-1;1)$$ и возрастает на нем, то:

из равенства $$f(a)=f(b)$$ следует $$a=b$$;
из неравенства $$f(a)

Решим уравнение $$f(3x+2)=f(4x^2+x)$$.
По возрастанию функции получаем:
$$3x+2=4x^2+x.$$
Решим квадратное уравнение:
$$ 4x^2-2x-2=0 \\ 2x^2-x-1=0 $$
$$ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9 $$
$$ x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4} $$
$$x_1=-\frac12,\quad x_2=1.$$
Проверим область определения: оба значения аргументов должны принадлежать интервалу $$(-1;1)$$.
При $$x=-\frac12$$:
$$3x+2=\frac12,\qquad 4x^2+x=\frac12.$$
При $$x=1$$:
$$3x+2=5,\qquad 4x^2+x=5,$$
но $$5\notin(-1;1)$$, значит это значение не подходит.
Решим неравенство $$f(3x+2)<f(4x^2+x)$$.
По возрастанию функции это равносильно системе:
$$ \begin{cases} 3x+2<4x^2+x,\\ -1<3x+2<1,\\ -1<4x^2+x<1. \end{cases} $$
Из первого неравенства:
$$ 4x^2-2x-2>0 \\ 2x^2-x-1>0 \\ (2x+1)(x-1)>0 $$
Отсюда:
$$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Но из условия $$-1<3x+2<1$$ получаем:
$$ -1<x<-\frac13. $$
Из условия $$-1<4x^2+x<1$$ достаточно учесть, что при найденных значениях $$x$$ выполняется верхняя граница, а нижняя граница автоматически верна. Тогда пересекаем полученные промежутки:
$$ \left(-1;-\frac13\right)\cap\left(-\infty;-\frac12\right)=\left(-1;-\frac12\right). $$