Упр.8.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Так как функция $$y=f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, то из равенства

$$f\!\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)=f\!\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$$

следует равенство аргументов:

$$\frac{1}{3x^2+4x-7}=\frac{1}{2x^2+3x-5}.$$

Тогда

$$3x^2+4x-7=2x^2+3x-5,$$

$$x^2+x-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

Проверим:

при $$x=-2$$

$$3x^2+4x-7=12-8-7=-3,\qquad 2x^2+3x-5=8-6-5=-3,$$

при $$x=1$$

$$3x^2+4x-7=3+4-7=0,\qquad 2x^2+3x-5=2+3-5=0.$$

Значит, подходит только $$x=-2$$.

б) Рассмотрим неравенство

$$f\!\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)\ge f\!\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right).$$

Так как $$f(x)$$ убывает, то

$$\frac{1}{3x^2+4x-7}\le \frac{1}{2x^2+3x-5}.$$

Перенесём в одну сторону:

$$\frac{(3x^2+4x-7)-(2x^2+3x-5)}{(2x^2+3x-5)(3x^2+4x-7)}\le 0,$$

$$\frac{x^2+x-2}{(2x^2+3x-5)(3x^2+4x-7)}\le 0,$$

$$\frac{(x-1)(x+2)}{(2x^2+3x-5)(3x^2+4x-7)}\le 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$2x^2+3x-5=(2x+5)(x-1),$$

$$3x^2+4x-7=(3x+7)(x-1).$$

Тогда

$$\frac{(x-1)(x+2)}{(2x+5)(x-1)(3x+7)(x-1)}\le 0,$$

$$\frac{(x+2)}{(2x+5)(3x+7)(x-1)}\le 0,$$

при этом $$x\ne -\frac52,\; x\ne -\frac73,\; x\ne 1.$$

По знакам множителей получаем:

$$x\in(-\infty;-\tfrac52)\cup\left[-\tfrac73;-2\right]\cup(1;+\infty).$$

Ответ

а) $$x=-2$$; б) $$x\in(-\infty;-\tfrac52)\cup\left[-\tfrac73;-2\right]\cup(1;+\infty).$$