Упр.8.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$y=\frac{1}{x^4+1}$$

   Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4+1$$. Тогда $$f'(x)=4x^3$$, значит, $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.

   Так как $$y=\frac{1}{f(x)}$$ и $$f(x)>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, то функция $$y$$ убывает там, где возрастает $$f(x)$$, и возрастает там, где убывает $$f(x)$$.

   Следовательно, $$y$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty)$$.

2. б) $$y=\frac{1}{x^2+6x+10}$$

   Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+6x+10$$. Приведём к квадрату:

   $$f(x)=(x+3)^2+1$$

   Парабола направлена вверх, вершина имеет абсциссу $$x_0=-3$$. Поэтому $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty)$$.

   Так как $$f(x)>0$$ при всех $$x$$, то функция $$y=\frac{1}{f(x)}$$ возрастает на $$(-\infty;-3]$$ и убывает на $$[-3;+\infty)$$.

3. в) $$y=\frac{1}{x^2-1}$$

   Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-1$$. Тогда $$f'(x)=2x$$, значит, $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.

   Но для функции $$y=\frac{1}{x^2-1}$$ нужно учитывать область определения:

   $$x^2-1\ne 0 \Rightarrow x\ne -1,\; x\ne 1$$

   Знак знаменателя меняется в точках $$-1$$ и $$1$$, поэтому монотонность рассматриваем по промежуткам:

   $$(-\infty;-1),\;(-1;0],\;[0;1),\;(1;+\infty)$$

   На этих промежутках получаем:

   $$y$$ возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0]$$ и убывает на $$[0;1)\cup(1;+\infty)$$.

4. г) $$y=\frac{1}{x^2-4x-12}$$

   Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-4x-12$$. Приведём к виду:

   $$f(x)=(x-2)^2-16$$

   Парабола направлена вверх, вершина имеет абсциссу $$x_0=2$$. Значит, $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty)$$.

   Найдём нули знаменателя:

   $$x^2-4x-12=0$$

   $$D=16+48=64$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=6$$

   Следовательно, область определения: $$x\ne -2,\; x\ne 6$$.

   Тогда функция $$y=\frac{1}{x^2-4x-12}$$ возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;2]$$ и убывает на $$[2;6)\cup(6;+\infty)$$.

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;-3]$$, убывает на $$[-3;+\infty)$$;
в) возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0]$$, убывает на $$[0;1)\cup(1;+\infty)$$;
г) возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;2]$$, убывает на $$[2;6)\cup(6;+\infty)$$.