Упр.74 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 74. Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если один из них сделает 40% задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч. За какое время сможет выполнить всё задание каждый рабочий, действуя в одиночку, если известно, что производительность труда у них различная? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 mord-prof10 povtor/74 108

Подробный ответ

Пусть первый рабочий выполняет всё задание за $$x$$ часов, а второй — за $$y$$ часов. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ работы в час.

Если первый выполнит $$40\%=\frac{2}{5}$$ работы, а второй — оставшиеся $$\frac{3}{5}$$, то на это уйдёт 4 часа:

$$\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}y=4.$$

Умножим на 5:

$$2x+3y=20.$$

Если они работают вместе, то за 2 часа выполняют всю работу:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.$$

Подставим из первого уравнения $$y=\frac{20-2x}{3}$$:

$$\frac{1}{x}+\frac{3}{20-2x}=\frac{1}{2}.$$

Умножим на $$2x(20-2x)$$:

$$2(20-2x)+6x=x(20-2x).$$

$$40-4x+6x=20x-2x^2$$

$$2x^2-18x+40=0$$

$$x^2-9x+20=0$$

$$ (x-4)(x-5)=0 $$

Отсюда $$x=4$$ или $$x=5$$.

Найдём соответствующие значения $$y$$:

при $$x=4$$

$$y=\frac{20-2\cdot 4}{3}=\frac{12}{3}=4,$$

при $$x=5$$

$$y=\frac{20-2\cdot 5}{3}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}.$$

Так как по условию производительность труда у рабочих различная, то равенство $$x=y=4$$ не подходит. Значит, один рабочий выполняет работу за 5 часов, а другой — за $$3\frac{1}{3}$$ часа.