Упр.72 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 72. Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Подробный ответ

Пусть первый экскаватор выполняет всю работу за $$x$$ ч, тогда второй — за $$x+4$$ ч.

Их производительности равны соответственно $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{x+4}$$, а вместе они выполняют работу за $$3\text{ ч }45\text{ мин}=\frac{15}{4}\text{ ч}$$. Тогда

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{4}{15}. $$

Умножим обе части на $$15x(x+4)$$:

$$ 15(x+4)+15x=4x(x+4) $$

$$ 15x+60+15x=4x^2+16x $$

$$ 4x^2-14x-60=0 $$

$$ 2x^2-7x-30=0 $$

Найдём корни:

$$ D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-30)=49+240=289 $$

$$ x=\frac{7\pm 17}{4} $$

$$ x_1=-\frac{5}{2}, \quad x_2=6 $$

Так как время не может быть отрицательным, получаем $$x=6$$ ч. Тогда второй экскаватор выполнит работу за

$$ x+4=10\text{ ч}. $$