Упр.7.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Ha рисунке представлен график функции, определенной на отрезке [а; b]; S(x) — площадь «подграфика» на отрезке [а; x], а < x < b. Выразите величину S(x) через x и постройте график функции у - S(x). По этому графику найдите область значений функции у = S(x : а) рис. 12 (а = 0, b = 2); б) рис. 13 (а = -4, b = 8).

Подробный ответ

а) $$a=0,\ b=2$$.

По графику функция на отрезке $$[0;2]$$ — прямая, проходящая через точки $$\left(0;2\right)$$ и $$\left(2;0\right)$$. Тогда

$$y=kx+b,$$

$$ \begin{cases} 2=b,\\ 0=2k+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=2,\\ k=-1 \end{cases} $$

Значит, $$y=2-x$$.

Площадь под графиком на отрезке $$[0;x]$$ равна площади трапеции с основаниями $$2$$ и $$2-x$$ и высотой $$x$$:

$$ S(x)=\frac{(2+(2-x))x}{2}=\frac{x(4-x)}{2}, \qquad 0\le x\le 2. $$

Функция $$S(x)$$ — парабола, ветви направлены вниз. На отрезке $$[0;2]$$ она принимает значения от $$0$$ до $$2$$.

б) $$a=-4,\ b=8$$.

По графику видно, что он состоит из двух отрезков:

от $$(-4;0)$$ до $$\left(1;15\right)$$;
от $$\left(1;15\right)$$ до $$\left(8;22\right)$$.

Тогда площадь под графиком на каждом участке выражается через площадь трапеции.

1) При $$-4\le x\le 1$$:

$$ S(x)=\frac{(x+4)\cdot (0+y(x))}{2}. $$

Так как на первом участке прямая проходит через точки $$(-4;0)$$ и $$\left(1;15\right)$$, её уравнение:

$$ y=3x+12. $$

Следовательно,

$$ S(x)=\frac{(x+4)(3x+12)}{2}=\frac{3(x+4)^2}{2}, \qquad -4\le x\le 1. $$

2) При $$1\le x\le 8$$:

Площадь до точки $$x$$ равна площади под первым участком плюс площадь трапеции под вторым участком:

$$ S(x)=\frac{(1+15)\cdot 5}{2}+\frac{(15+y(x))(x-1)}{2}. $$

На втором участке прямая проходит через точки $$\left(1;15\right)$$ и $$\left(8;22\right)$$, значит

$$ y=x+14. $$

Тогда

$$ S(x)=40+\frac{(15+x+14)(x-1)}{2} =40+\frac{(x+29)(x-1)}{2}. $$

После упрощения получаем

$$ S(x)=\frac{x^2+28x+51}{2}, \qquad 1\le x\le 8. $$

По графику функции $$S(x)$$ наибольшее значение достигается при $$x=8$$ и равно $$162$$, а наименьшее — при $$x=-4$$ и равно $$0$$. Значит, область значений:

$$ E(S)=[0;162]. $$