Упр.7.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Из прямоугольного листа жести размером 30 x 50 см по углам вырезали квадраты со стороной x см и из полученной заготовки в форме «креста» согнули коробку прямоугольной формы высотой, равной x см (см. рис.11). Выразите объем полученной коробки как функцию от x.

После вырезания квадратов со стороной $$x$$ см размеры дна коробки станут:

$$a=30-2x,$$

$$b=50-2x,$$

а высота коробки равна $$h=x.$$

Тогда объём коробки:

$$V(x)=abh=(30-2x)(50-2x)x.$$

Раскроем скобки:

$$ V(x)=x(1500-60x-100x+4x^2)=4x^3-160x^2+1500x. $$

Так как длины сторон должны быть положительными, то

$$30-2x>0,\quad 50-2x>0,\quad x>0.$$

Отсюда получаем:

$$x<15,\quad x<25,\quad x>0,$$

значит, $$x\in(0;15).$$

Ответ

$$V(x)=4x^3-160x^2+1500x,\quad x\in(0;15).$$