Упр.7.71 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть $$\omega \in [0;1)$$, а $$a$$ — натуральное число.

а) Докажем, что $$\{a+\omega\}=\omega$$.

Так как $$a$$ — целое число, то $$[a]=a$$. Из условия $$0\le \omega<1$$ получаем:

$$a\le a+\omega<a+1.$$

Значит, целая часть числа $$a+\omega$$ равна $$a$$, то есть

$$[a+\omega]=a.$$

Тогда по определению дробной части:

$$\{a+\omega\}=a+\omega-[a+\omega]=a+\omega-a=\omega.$$

Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что $$\{a-\omega\}=1-\omega$$.

Из $$0\le \omega<1$$ следует:

$$a-1\le a-\omega<a.$$

Следовательно, целая часть числа $$a-\omega$$ равна $$a-1$$, то есть

$$[a-\omega]=a-1.$$

Тогда

$$\{a-\omega\}=a-\omega-[a-\omega]=a-\omega-(a-1)=1-\omega.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\{a+\omega\}=\omega,\qquad \{a-\omega\}=1-\omega.$$