Упр.7.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) $$[x]=x$$
Это возможно только тогда, когда $$x$$ — целое число.
Следовательно, $$x \in \mathbb{Z}$$.
б) $$[x+5]=1-x$$
Правая часть должна быть целым числом, значит $$1-x \in \mathbb{Z}$$, откуда $$x \in \mathbb{Z}$$.
Тогда можно приравнять выражение под знаком целой части к правой части:
$$x+5=1-x$$
$$2x=-4$$
$$x=-2$$
в) $$[x]=\frac{x}{2}$$
Правая часть должна быть целым числом, значит $$\frac{x}{2} \in \mathbb{Z}$$, то есть $$x$$ — чётное число.
Пусть $$x=2k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. Тогда
$$[2k]=k$$
Но $$[2k]=2k$$, так как $$2k$$ — целое число. Получаем
$$2k=k$$
$$k=0$$
Значит, $$x=0$$.
г) $$\left[\frac{x+1}{4}\right]=x+2$$
Правая часть должна быть целым числом, значит $$x+2 \in \mathbb{Z}$$, откуда $$x \in \mathbb{Z}$$.
Тогда
$$x+2 \le \frac{x+1}{4} < x+3$$
Умножим на $$4$$:
$$4x+8 \le x+1 < 4x+12$$
Решаем систему неравенств:
$$4x+8 \le x+1$$
$$3x \le -7$$
$$x \le -\frac{7}{3}$$
и
$$x+1 < 4x+12$$
$$-11 < 3x$$
$$x > -\frac{11}{3}$$
С учётом того, что $$x \in \mathbb{Z}$$, получаем единственное значение:
$$x=-3$$