Упр.7.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Докажем, что если $$[x]=k,$$ то $$[x+n]=k+n,$$ где $$n \in N.$$

По определению целой части числа

$$k \le x < k+1.$$

Прибавим к каждой части неравенства число $$n$$:

$$k+n \le x+n < k+n+1.$$

Так как $$k \in Z$$ и $$n \in N,$$ то $$k+n \in Z.$$ Следовательно, число $$k+n$$ является целой частью числа $$x+n,$$ то есть

$$[x+n]=k+n.$$

Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что если $$[x]=k,$$ то $$[x+y]\le k+y,$$ где $$y \in R.$$

Из условия $$[x]=k$$ следует, что

$$k \le x < k+1.$$

Тогда

$$x+y < k+1+y.$$

Поскольку целая часть числа $$x+y$$ не превосходит самого числа, имеем

$$[x+y]\le x+y.$$

А значит,

$$[x+y]\le x+y < k+1+y.$$

Следовательно, утверждение $$[x+y]\le k+y$$ вообще неверно в общем случае. Например, при $$x=1{,}9$$ и $$y=0{,}2$$ получаем:

$$[x]=[1{,}9]=1,$$

$$k+y=1+0{,}2=1{,}2,$$

$$[x+y]=[2{,}1]=2,$$

и потому

$$[x+y]=2>1{,}2=k+y.$$

Значит, данное неравенство неверно.

Ответ

а) $$[x+n]=k+n.$$
б) Утверждение $$[x+y]\le k+y$$ неверно.