Упр.7.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$y=\left|2-\sqrt{5-x}\right|$$
Область определения:
$$5-x\ge 0 \Rightarrow x\le 5.$$
Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:
$$2-\sqrt{5-x}\ge 0$$
$$\sqrt{5-x}\le 2$$
$$5-x\le 4$$
$$x\ge 1.$$
Значит,
$$ y= \begin{cases} 2-\sqrt{5-x}, & 1\le x\le 5,\\ \sqrt{5-x}-2, & x<1. \end{cases} $$
Ключевые точки: $$x=1,\; y=0;\quad x=5,\; y=2.$$
Следовательно, $$D(x)=(-\infty;5],\quad E(y)=[0;+\infty).$$
б) $$y=2-\sqrt{5-|x|}$$
Область определения:
$$5-|x|\ge 0 \Rightarrow |x|\le 5 \Rightarrow -5\le x\le 5.$$
Так как $$|x|=\begin{cases}x,& x\ge 0,\\ -x,& x<0,\end{cases}$$ то
$$ y= \begin{cases} 2-\sqrt{5-x}, & 0\le x\le 5,\\ 2-\sqrt{5+x}, & -5\le x<0. \end{cases} $$
Минимум достигается при $$x=0$$: $$y=2-\sqrt5.$$
Максимум при $$x=\pm 5$$: $$y=2.$$
Значит, $$D(x)=[-5;5],\quad E(y)=[2-\sqrt5;2].$$
в) $$y=\left|2-\sqrt{5+x}\right|$$
Область определения:
$$5+x\ge 0 \Rightarrow x\ge -5.$$
Граница смены знака подмодульного выражения:
$$2-\sqrt{5+x}\ge 0$$
$$\sqrt{5+x}\le 2$$
$$5+x\le 4$$
$$x\le -1.$$
Поэтому
$$ y= \begin{cases} 2-\sqrt{5+x}, & -5\le x\le -1,\\ \sqrt{5+x}-2, & x>-1. \end{cases} $$
Нуль функции: $$x=-1.$$
Следовательно, $$D(x)=[-5;+\infty),\quad E(y)=[0;+\infty).$$
г) $$y=\left|2-\sqrt{5+|x|}\right|$$
Так как $$5+|x|\ge 0$$ при любых $$x$$, то
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Поскольку $$\sqrt{5+|x|}\ge \sqrt5>2,$$ имеем
$$y=\sqrt{5+|x|}-2.$$
Минимум достигается при $$x=0$$:
$$y_{\min}=\sqrt5-2.$$
Значит,
$$E(y)=[\sqrt5-2;+\infty).$$
Ответ
а) $$D(x)=(-\infty;5],\ E(y)=[0;+\infty)$$;
б) $$D(x)=[-5;5],\ E(y)=[2-\sqrt5;2]$$;
в) $$D(x)=[-5;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty)$$;
г) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[\sqrt5-2;+\infty)$$.
