Упр.7.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) $$y=|x-5|\cdot(x+3)$$
Рассмотрим знак выражения под модулем:
$$x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge 5,$$
$$x-5<0 \Rightarrow x<5.$$
1) Если $$x\ge 5,$$ то
$$y=(x-5)(x+3)=x^2-2x-15.$$
Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1.$$
Но при $$x\ge 5$$ вершина не принадлежит этой части графика. Значит, на данном промежутке функция возрастает. Удобные точки:
$$x=5,\ y=0; \qquad x=7,\ y=20.$$
2) Если $$x<5,$$ то
$$y=-(x-5)(x+3)=-x^2+2x+15.$$
Это парабола, ветви направлены вниз. Вершина:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.$$
Удобные точки:
$$x=-3,\ y=0; \quad x=-1,\ y=12; \quad x=1,\ y=16; \quad x=3,\ y=12; \quad x=5,\ y=0.$$
Итак, график состоит из двух частей: при $$x<5$$ — ветвь параболы $$y=-x^2+2x+15,$$ при $$x\ge 5$$ — ветвь параболы $$y=x^2-2x-15.$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Нули функции:
$$x=-3,\ 5.$$
б) $$y=|x+3|\cdot|1-x|$$
Найдём, где выражения под модулями меняют знак:
$$x+3=0 \Rightarrow x=-3,$$
$$1-x=0 \Rightarrow x=1.$$
Рассмотрим три промежутка.
1) Если $$x\ge 1,$$ то
$$y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3.$$
Вершина:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1.$$
Для этого промежутка подходят точки:
$$x=1,\ y=0; \quad x=2,\ y=5; \quad x=3,\ y=12.$$
2) Если $$-3\le x<1,$$ то
$$y=(x+3)(1-x)=-x^2-2x+3.$$
Вершина:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1.$$
Удобные точки:
$$x=-3,\ y=0; \quad x=-2,\ y=3; \quad x=-1,\ y=4; \quad x=0,\ y=3; \quad x=1,\ y=0.$$
3) Если $$x<-3,$$ то
$$y=-(x+3)(1-x)=x^2+2x-3.$$
Удобные точки:
$$x=-5,\ y=12; \quad x=-4,\ y=5; \quad x=-3,\ y=0.$$
Следовательно, график функции симметричен относительно прямой $$x=-1$$ на среднем участке и проходит через точки $$(-3,0)$$ и $$ (1,0).$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений:
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Функция возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1].$$
Нули функции:
$$x=-3,\ 1.$$