Упр.7.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\frac{x^2+8}{x}$$
Пусть $$y=\frac{x^2+8}{x}$$. Тогда
$$yx=x^2+8,$$
$$x^2-yx+8=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных корней нужно, чтобы
$$D=y^2-4\cdot 8=y^2-32\ge 0.$$
Отсюда
$$y^2\ge 32,$$
$$|y|\ge 4\sqrt2,$$
то есть
$$y\le -4\sqrt2 \text{ или } y\ge 4\sqrt2.$$
Следовательно,
$$E(f)=(-\infty;\,-4\sqrt2]\cup[4\sqrt2;\,+\infty).$$
б) $$f(x)=\frac{x^2+8}{x+1}$$
Пусть $$y=\frac{x^2+8}{x+1}$$. Тогда
$$y(x+1)=x^2+8,$$
$$x^2-yx+(8-y)=0.$$
Для существования действительных корней нужно
$$D=y^2-4(8-y)=y^2+4y-32\ge 0.$$
Решаем неравенство:
$$y^2+4y-32=(y+8)(y-4)\ge 0.$$
Значит,
$$y\le -8 \text{ или } y\ge 4.$$
Следовательно,
$$E(f)=(-\infty;\,-8]\cup[4;\,+\infty).$$
в) $$f(x)=\frac{x^2-4}{x}$$
Пусть $$y=\frac{x^2-4}{x}$$. Тогда
$$yx=x^2-4,$$
$$x^2-yx-4=0.$$
Дискриминант:
$$D=y^2-4\cdot(-4)=y^2+16.$$
Так как $$y^2+16>0$$ при любом $$y\in\mathbb R$$, то уравнение имеет действительные корни при любом $$y$$.
Следовательно,
$$E(f)=(-\infty;\,+\infty).$$
г) $$f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}$$
Пусть $$y=\frac{x^2-4}{x-1}$$. Тогда
$$y(x-1)=x^2-4,$$
$$x^2-yx+(y-4)=0.$$
Для существования действительных корней нужно
$$D=y^2-4(y-4)=y^2-4y+16\ge 0.$$
Но
$$y^2-4y+16=(y-2)^2+12>0$$
при любом $$y\in\mathbb R$$.
Значит,
$$E(f)=(-\infty;\,+\infty).$$